1、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9x＝3x+2 的解为____________________．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝____________________．

3．（3 分）若 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝____________________．

4．（3 分）假如函数是奇函数，则 f（x）的概念域是____________________．

5．（3 分）已知数列{an}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝____________________．

6．（3 分）函数的反函数为____________________．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是____________________．

8．（3 分）设{an}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N*，bn＝an，当且仅当 n＝4 时，数列{bn}的前 n 项和获得最大值，则 q 的取值范围为____________________．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cosplay4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为____________________．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是____________________．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝____________________．

12．（3 分）已知等差数列{an}的首项为 a，公差为 b；等比数列{bn}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 am+1＝bn，则 b＝____________________．

2、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，则最后函数图象的分析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                        D．

15．（3 分）设 f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而非必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也非必要条件

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{an}满足 an∈M，且，则实数 t 肯定不是（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．3、解答卷

17．已知集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；

（2）若 ，求 a 的取值范围．

18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．

（1） 若 a、b、c 成等比数列，且，求 cotA+cotC 的值；

（2） 若 A、B、C 成等差数列，且 b＝2，求△ABC 的周长 l 的最大值．

19. 设函数 f（x）对任意的 x∈R，都有 f（2x）＝af（x），其中 a 为常数，当 x∈[1，2）时，

（1） 求函数 f（x）在 x∈[2n，2n+1）上的分析式；

（2）若﹣1≤a＜0，求 f（x）在 x∈[1，+∞）时的值域．

20．（1）已知 0＜x1＜x2，求证： ；

（2） 已知 f（x）＝lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在概念域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合 M＝{n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

21. 已知点是函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象上的一点，等比数列{an}的前n 项和为 f （ n ） ﹣ c ， 数列{bn} （ bn ＞ 0 ） 的首项为 c ， 且前 n 项和 Sn 满足：

（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2） 若数列{cn}的通项 ，求数列{cn}的前 n 项和 Rn；

（3） 若数列 的前项和为 Tn，是不是存在最大的整数 t，使得对任意的正整数 n， 均有 总成立？若成立，求出 t；若没有，请说明理由．

2017-2018 学年上海闵行区七宝中学高中二年级（上）开学习数学试题

参考答案与考试试题分析

1、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9x＝3x+2 的解为____________________________________________________________________________________________________．

【剖析】由 9x＝3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2＝0，解得 3x＝﹣1（舍），或 3x＝2，由此能求出方程 9x＝3x+2 的解．

【解答】解：∵9x＝3x+2，

∴（3x）2﹣3x﹣2＝0，

解得 3x＝﹣1（舍），或 3x＝2，

∴x＝log32．

故答案为：x＝log32．

【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝__________________________________________________．

【剖析】依据题意，若 B⊆A，必有 m2＝2m﹣1，而 m2＝﹣1 不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．

【解答】解：由 B⊆A，m2≠﹣1，

∴m2＝2m﹣1．解得 m＝1．

验证可得符合集合元素的互异性，

此时 B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A 满足题意． 故答案为：1

【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，是基础题．

3．（3 分）若 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝____________________________________________________________．

【剖析】借助三角函数的诱导公式，与同角的三角函数关系求出 tanx，然后借助两角和差的正切公式进行求解即可．

【解答】解：由 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0 得﹣2cosplayx+sinx＝0

即 sinx＝2cosplayx，

则 tanx＝2，

则 ＝ ＝ ＝﹣3， 故答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，借助诱导公式与两角和差的正切公式是解决本题的重点．

4．（3 分）假如函数是奇函数，则 f（x）的概念域是____________________________________________________________________________________________________．

【剖析】依据函数 f（x）是奇函数求出 a 的值，写出 f（x）的分析式，再求 f（x）的概念域．

【解答】解：函数 是奇函数，

∴f（﹣x）＝log3＝﹣log3＝﹣log3＝﹣f（x），

∴a＝3，

∴f（x）＝log3 ，

令 ＞0，解得﹣3＜x＜3；

∴f（x）的概念域是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．

【点评】本题考查了函数的奇偶性和概念域的应用问题，是基础题．

5．（3 分）已知数列{an}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝____________________________________________________________．

【剖析】由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣  ．

【解答】解：由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣ ＝﹣ ＝

﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，是中档题．

6．（3 分）函数的反函数为 f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0] ．

【剖析】先用诱导公式求出 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，再由反函数的概念求解即可．

【解答】解：函数 f（x）＝sinx，x∈[π，]，

∴函数 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，可得π﹣x＝arcsiny y∈[﹣1，0]

∴f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

故答案为：f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

【点评】本题考查函数反函数的求法，是基础题．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是______________________________________________________________________________________________________________

________________________________________．

【剖析】分 a＝0、a＞0、a＜0 三种状况，分别检验是不是满足条件，从而得出结论．

【解答】解：∵不等式组 （a≠0）的解集为∅，

①当 a＝0 时，因为 ax＞0 无解，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件．

②当 a＞0 时，由 ax＞0 求得 x＞0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，故不等式组

（a≠0）的解集为{x|x＞0}≠∅，故不满足条件．

③当 a＜0 时，由 ax＞0 求得 x＜0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，

若﹣a﹣1≥0，即 a≤﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件； 若﹣a﹣1＜0，即 0＞a＞﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为{x|﹣a﹣1＜x

＜0}≠∅，不满足条件，

综上可得实数 a 的取值范围是{a|a＝0，或 a≤﹣1}， 故答案为：{a|a＝0，或 a≤﹣1}．

【点评】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．

8．（3 分）设{an}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N*，bn＝an，当且仅当 n＝4 时，数列{bn}的前 n 项和获得最大值，则 q 的取值范围为________________________________________________________________________________．

【剖析】由 bn+1﹣bn＝ an+1﹣ an＝ ＝ q，得出数列{bn}是以q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，由已知当且仅当 n＝4 时前 n 项和最

大，通过解不等式组 求出公比 q 的取值范围即可．

【解答】解：由于等比数列的公比为 q，首项 a1＝，

∴bn+1﹣bn＝ an+1﹣ an＝ ＝ q，

∴数列{bn}是以 q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，

∴bn＝6+（n﹣1） q．

又当且仅当 n＝4 时前 n 项和最大，

∴ ，

∴﹣2＜ q＜﹣ ，即 2＜q＜4，

故答案为：（2，4）．

【点评】本题考查了等差数列的断定，前 n 项和最值状况．本题得出数列{bn}是以 q

为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列为重点．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cosplay4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为____________________________________________________________．

【剖析】先化简不等式，然后将 p 离别出来，再依据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使 p 大于不等式一侧的最大值即可使不等式恒成立．

【解答】解：∵psin2x+cosplay4x≥2sin2x

∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x＝4sin2x﹣sin4x﹣1

∴p≥4﹣（sin2x+ ）

而 sin2x+ ≥2

∴4﹣（sin2x+ ）的最大值为 2 则 p≥2

故答案为：[2，+∞）

【点评】本题主要考查了正弦函数的概念域和值域，与函数恒成立问题和基本不等式的应用，是中档题．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是____________________．

【剖析】借助辅助角公式进行化简得到 f（x）的表达式，计算出函数的周期结合图象得到一个周期内含有 2 个零点，依据图象打造 b﹣a 的最小值时对应的周期关系即可．

【解答】解： ＝ sin2x+1+cosplay2x＝2sin（2x+  ）+1，

则函数的最小周期 T＝＝π， 作出 f（x）的图象如图：

则在一个周期内函数 f（x）含有两个零点，

若 f（x）在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，

则至少需要 9 个整周期外加一个周期内的两个零点长度即可，

即 b﹣a 的最小值为 9π+（﹣ ）＝9π+ ＝ ， 故答案为： ．

【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，借助辅助角公式求出函数的 分析式结合图象判断一个周期内零点个数是解决本题的重点．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝______________________________．

【剖析】由反函数性质得互为反函数的函数概念域值域互换，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017

﹣x）＝0．

【解答】解：由反函数性质得互为反函数的函数概念域值域互换，  因为 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）中 x+（2017﹣x）＝2017，

且 f（x）+f（﹣x）＝2017，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）＝x+（﹣x）＝0． 故答案为 0．

【点评】本题考查反函数性质，是简单题．

12．（3 分）已知等差数列{an}的首项为 a，公差为 b；等比数列{bn}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 am+1＝bn，则 b＝______________________________．

【剖析】由题设可求，an，bn，结合已知 a1＜b1＜a2＜b2＜a3．可得 a＜3，由 a 为正整数可求 a 由 am+1＝bn，a＝2 可求得 ，由 b＞a＝2 且 b 为正整数 可求出结

果．

【解答】解：由题设知，an＝a+（n﹣1）b， ， 由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b

∴b＜ab，a＞1，∴ab＜a+2b＜3b，

又∵b＞0∴a＜3，∵a 为正整数，∴a＝2，

∵am+1＝bn，∴a+（m﹣1）b+1＝b•an﹣1，

∵a＝2，∴3+（m﹣1）b＝b•2n﹣1，

∴ ，

∵b＞a＝2 且 b 为正整数，∴2n﹣1﹣（m﹣1）＝1，

∴b＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等入门知识，   考查运算求解能力，是中档题．

2、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

【剖析】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，再

由 0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，考查解集端点的范围， 解出 a 的取值范围．

【解答】解：关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b

＜1+a，

[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，∴a＞1，

∴不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0  三个．

∴﹣3≤﹣ ＜﹣2，

∴2＜ ≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，

∵b＜1+a，

∴2a﹣2＜1+a，

∴a＜3，

综上，1＜a＜3， 故选：C．

【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的

对称图形，则最后函数图象的分析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                       D．

【剖析】由条件借助函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得的图象对应的函数分析式，再依据所得的图象关于 y 轴的对称图形，求得所得函数图象对应的分析式．

【解答】解：先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，可得 y＝sin2（x﹣）

的图象；

再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，可得函数 y＝sin2（﹣x﹣）＝sin（﹣2x﹣ ） 的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，依据图象的对称性求函

数的分析式，是基础题．

15．（3 分）设 f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而非必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也非必要条件

【剖析】由 f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+ ）＝﹣x3+log2 ＝﹣x3﹣log2

（x+）＝﹣f（x），知 f（x）是奇函数．所以 f（x）在 R 上是增函数，a+b≥0 可得 af（a）+f（b）≥0 成立；若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知 a+b≥0 成立 a+b＞＝0 是 f（a）+f（b）＞＝0 的充要条件．

【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的概念域为 R

∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+  ）＝﹣x3+log2

＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．

∴f（x）是奇函数

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数

∴f（x）在 R 上是增函数

a+b≥0 可得 a≥﹣b

∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）

∴f（a）+f（b）≥0 成立

若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b

∴a+b≥0 成立

∴a+b≥0 是 f（a）+f（b）≥0 的充要条件．

【点评】本题考查充要条件的判断，解题时应该注意单调性的合理运用．

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{an}满足 an∈M，且，则实数 t 肯定不是（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．

【剖析】用特殊值验证法断定

【解答】解：当 a1＝a2＝…＝an＝0 时，t＝0 当 a1＝2，a2＝a3＝..＝an＝0 时，t＝．

于是可以断定实数 t 肯定不是[） 故选：C．

【点评】本题考查了数列的取值范围问题，特殊值验证法是做客观题的一种有效方法， 是中档题．

3、解答卷

17．已知集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；

（2）若 ，求 a 的取值范围．

【剖析】（1）依据题意，剖析可得﹣a＜﹣b＜1，据此求出集合 A、B，由交集的概念剖析可得答案；

（2）依据题意，求出集合 A 的补集，进而可得若，则（a2﹣）（a2++a）

≤0，解可得 a 的取值范围，即可得答案．

【解答】解：（1）依据题意，若 a＞b＞﹣1，则﹣a＜﹣b＜1，

集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}＝{x|x＜﹣a 或 x＞1}，集合 B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}

＝{x|x＜﹣a 或 x＞﹣b}，

则 A∩B＝{x|x＜﹣a 或 x＞1}；

（2）依据题意，A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，则∁uA＝{x|（x﹣1）（x+a）≤0}若 ，则（a2﹣ ）（a2+ +a）≤0，

则有 a2﹣≤0，解可得：﹣ ≤a≤ ， 故 a 的取值范围为{a|﹣≤a≤ }．

【点评】本题主要元素与集合关系的判断、交集及其运算，重点是学会集合交集、并集的概念，是基础题．

18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．

（1） 若 a、b、c 成等比数列，且，求 cotA+cotC 的值；

（2） 若 A、B、C 成等差数列，且 b＝2，求△ABC 的周长 l 的最大值．

【剖析】（1）第一求出 sinB 的值，再依据正弦定理及 a、b、c 成等比数列得出 sin2B＝ sinAsinC，对 cotA+cotC 化简代入即可．

（2）由等差数列中项的性质，结合三角形的内角和定理求得 B，借助正弦定理表示出 a 与 c，进而表示出三角形 ABC 的周长，由三角函数的恒等变换，借助余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．

【解答】解：（1）∵cosplayB＝，

∴sinB＝ ＝ ＝ ，

∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac，

∴依据正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，

∴cotA+cotC

＝ + ＝ ＝

＝ ＝ ＝ ．

（2）∵b＝2，A、B、C 成等差数列，

可得 2B＝A+C＝180°﹣B，即 B＝60°，

sinB＝ ，

∴由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，

即 a＝sinA，c＝ sinC，

∵A+C＝120°，即 C＝120°﹣A，

∴△ABC 周长为 l＝a+b+c＝（sinA+sinC）+2

＝ [sinA+sin（120°﹣A）]+2＝ ×2sin60°cosplay（A﹣60°）+2

＝4cosplay（A﹣60°）+2，

∵0＜A＜120°，∴﹣60°＜A﹣60°＜60°，

∴ ＜cosplay（A﹣60°）≤1，即 4＜4cosplay（A﹣60°）+2≤6， 则当 A＝B＝C＝60°时，△ABC 周长获得最大值为 6．

【点评】本题考查了正弦定理，等差数列和等比数列中项的性质与三角函数的恒等变换，熟练学会正弦定理是解本题重点，是中档题．

19. 设函数 f（x）对任意的 x∈R，都有 f（2x）＝af（x），其中 a 为常数，当 x∈[1，2）时，

（1） 求函数 f（x）在 x∈[2n，2n+1）上的分析式；

（2）若﹣1≤a＜0，求 f（x）在 x∈[1，+∞）时的值域．

【剖析】（1）依据函数递推关系进行求解即可

（2）依据函数递推关系将[1，+∞）＝[1，2）∪[2，22）∪[22，23））∪…∪[2n，2n+1）

∪…，分别进行讨论求解即可．

【解答】解：（1）当 x∈[2n，2n+1）时， ∈[1，2），∴f（ ）＝sin（• ），

∴f（x）＝af（）＝a2f（）＝a3f（ ）＝…＝anf（ ）＝ansin（ • ）．

（2）因为[1，+∞）＝[1，2）∪[2，22）∪[22，23））∪…∪[2n，2n+1）∪…故只研究函数 f（x）在[2n，2n+1）的值域即可，

当 x∈[2n，2n+1），则 ∈[1，2），

于是 f（x）＝af（ ）＝a2f（）＝a3f（ ）＝…＝anf（ ）＝ansin（ • ）＝

ansin（ ）．x∈[2n，2n+1），

则 ≤ ＜π，⇒0＜sin（ ）≤1，

∵﹣1≤a＜0，∴当 n 是偶数时，f（x）在[2n，2n+1）上单调递减，值域为（0，an]， 且（0，1]⊇（0，a2]⊇（0，a4]⊇…⊇（0，a2k]⊇…，

当 n 是奇数时，f（x）在[2n，2n+1）上单调递增，值域为[an，0），且[a，0）⊇[a3，0）⊇[a5，0）⊇…⊇[a2k﹣1，0）⊇…，

综上函数的值域为[a，0）∪（0，1]

【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合函数的递推公式是解决本题的重点．综合性较强，有肯定的困难程度．

20．（1）已知 0＜x1＜x2，求证： ；

（2） 已知 f（x）＝lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在概念域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合 M＝{n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

【剖析】（1）用剖析法证明；

（2） 设 0＜x1＜x2，借助（1）的结论和对数函数的性质化简 f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；

（3） 由（2）的结论及 f（9）＝0 列出不等式组，解出 n 即可得出 M 中元素的个数．

【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0， 欲证： ，

仅需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，

仅需证：x2＞x1， 显然 x2＞x1 成立，

∴ ．

（2）解：f（x）的概念域为（0，+∞）．

设 0＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣ log3x1

＝lg + log3 ＝lg ﹣log9 ．

∵0＜x1＜x2，

∴0＜ ＜ ＜1，∴lg ＞log9 ＞log9 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＝lg ﹣log9 ＞log9 ﹣log9 ＝0．

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在概念域（0，+∞）上是减函数．

（3）解：由（2）知 f（x）是概念在（0，+∞）上的减函数，且 f（9）＝0，

∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，

∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．

∴13447＜（n﹣107）2≤13456．

∵115＜ ＜116， ＝116，n∈Z，

∴n﹣107＝116 或 n﹣107＝﹣116．

∴集合 M 有两个元素．

∴集合 M 有 4 个子集．

【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，是中档题．

21. 已知点是函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象上的一点，等比数列{an}的前n 项和为 f （ n ） ﹣ c ， 数列{bn} （ bn ＞ 0 ） 的首项为 c ， 且前 n 项和 Sn 满足：

（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2） 若数列{cn}的通项 ，求数列{cn}的前 n 项和 Rn；

（3） 若数列 的前项和为 Tn，是不是存在最大的整数 t，使得对任意的正整数 n， 均有 总成立？若成立，求出 t；若没有，请说明理由．

【剖析】（1）由题意可得 a＝，由等比数列的求和公式特征可得 c＝1，进而得到所求等比数列的通项公式；由平方差公式和等差数列的概念和通项公式，可得所求通项公式；

（2） 求得 ＝（2n﹣1）•（ ）n，运用错位相减法求和，化简计算可得所求和；

（3）  ） ＝ ＝ （ ﹣ ）， 由裂项相消求和可得数列的前项和为 Tn，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得 t 的最大值．

【解答】解：（1）由题意可得 a＝，等比数列{an}的前 n 项和为 f（n）﹣c＝﹣c，由等比数列的求和公式可得 c＝1，即 a1＝﹣，公比 q＝，

则 an＝﹣2•；

数列{bn}（bn＞0）的首项为 1，且前 n 项和 Sn 满足： ，

可得 ﹣ ＝1，即有 ＝ +n﹣1＝1+n﹣1＝n， 即 Sn＝n2，bn＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；

（2）通项 ＝（2n﹣1）•（ ）n，

前 n 项和 Rn＝1•+3•（ ）2+…+（2n﹣1）•（ ）n，

Rn＝1•（ ）2+3•（ ）3+…+（2n﹣1）•（ ）n+1，

相减可得 Rn＝ +2[（ ）2+…+（ ）n]﹣（2n﹣1）•（ ）n+1

＝ +2• ﹣（2n﹣1）•（ ）n+1， 化简可得 Rn＝ ﹣ ；

（3） ＝ ＝（﹣），

数列 的前项和为 Tn＝ （1﹣+ ﹣ +…+ ﹣ ）

＝  （1﹣ ），

由 Tn＝（1﹣ ）在 n 为自然数集递增，可得最小值为 T1＝，

＜ ，可得 t＜12，

则存在最大的整数 t＝11，使得对任意的正整数 n，均有总成立．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法和裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，是中档题．

2017-2018 学年上海闵行区七宝中学高中二年级（上）开学习数学试题

1、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9x＝3x+2 的解为____________________．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝____________________．

3．（3 分）若 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝____________________．

4．（3 分）假如函数是奇函数，则 f（x）的概念域是____________________．

5．（3 分）已知数列{an}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝____________________．

6．（3 分）函数的反函数为____________________．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是____________________．

8．（3 分）设{an}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N*，bn＝an，当且仅当 n＝4 时，数列{bn}的前 n 项和获得最大值，则 q 的取值范围为____________________．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cosplay4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为____________________．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是____________________．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝____________________．

12．（3 分）已知等差数列{an}的首项为 a，公差为 b；等比数列{bn}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 am+1＝bn，则 b＝____________________．

2、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，则最后函数图象的分析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                        D．

15．（3 分）设 f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而非必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也非必要条件

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{an}满足 an∈M，且，则实数 t 肯定不是（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．3、解答卷

17．已知集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；

（2）若 ，求 a 的取值范围．

18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．

（1） 若 a、b、c 成等比数列，且，求 cotA+cotC 的值；

（2） 若 A、B、C 成等差数列，且 b＝2，求△ABC 的周长 l 的最大值．

19. 设函数 f（x）对任意的 x∈R，都有 f（2x）＝af（x），其中 a 为常数，当 x∈[1，2）时，

（1） 求函数 f（x）在 x∈[2n，2n+1）上的分析式；

（2）若﹣1≤a＜0，求 f（x）在 x∈[1，+∞）时的值域．

20．（1）已知 0＜x1＜x2，求证： ；

（2） 已知 f（x）＝lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在概念域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合 M＝{n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

21. 已知点是函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象上的一点，等比数列{an}的前n 项和为 f （ n ） ﹣ c ， 数列{bn} （ bn ＞ 0 ） 的首项为 c ， 且前 n 项和 Sn 满足：

（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2） 若数列{cn}的通项 ，求数列{cn}的前 n 项和 Rn；

（3） 若数列 的前项和为 Tn，是不是存在最大的整数 t，使得对任意的正整数 n， 均有 总成立？若成立，求出 t；若没有，请说明理由．

2017-2018 学年上海闵行区七宝中学高中二年级（上）开学习数学试题

参考答案与考试试题分析

1、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）

1．（3 分）方程 9x＝3x+2 的解为____________________________________________________________________________________________________．

【剖析】由 9x＝3x+2，知（3x）2﹣3x﹣2＝0，解得 3x＝﹣1（舍），或 3x＝2，由此能求出方程 9x＝3x+2 的解．

【解答】解：∵9x＝3x+2，

∴（3x）2﹣3x﹣2＝0，

解得 3x＝﹣1（舍），或 3x＝2，

∴x＝log32．

故答案为：x＝log32．

【点评】本题考查指数方程的解法和应用，解题时要认真审题，注意指数式与对数式的互化．

2．（3 分）已知集合 A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝__________________________________________________．

【剖析】依据题意，若 B⊆A，必有 m2＝2m﹣1，而 m2＝﹣1 不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．

【解答】解：由 B⊆A，m2≠﹣1，

∴m2＝2m﹣1．解得 m＝1．

验证可得符合集合元素的互异性，

此时 B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A 满足题意． 故答案为：1

【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，是基础题．

3．（3 分）若 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0，则＝____________________________________________________________．

【剖析】借助三角函数的诱导公式，与同角的三角函数关系求出 tanx，然后借助两角和差的正切公式进行求解即可．

【解答】解：由 2cosplay（π﹣x）+sin（π﹣x）＝0 得﹣2cosplayx+sinx＝0

即 sinx＝2cosplayx，

则 tanx＝2，

则 ＝ ＝ ＝﹣3， 故答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，借助诱导公式与两角和差的正切公式是解决本题的重点．

4．（3 分）假如函数是奇函数，则 f（x）的概念域是____________________________________________________________________________________________________．

【剖析】依据函数 f（x）是奇函数求出 a 的值，写出 f（x）的分析式，再求 f（x）的概念域．

【解答】解：函数 是奇函数，

∴f（﹣x）＝log3＝﹣log3＝﹣log3＝﹣f（x），

∴a＝3，

∴f（x）＝log3 ，

令 ＞0，解得﹣3＜x＜3；

∴f（x）的概念域是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．

【点评】本题考查了函数的奇偶性和概念域的应用问题，是基础题．

5．（3 分）已知数列{an}等比数列，且 a1＝﹣1，a9＝﹣9，则 a5＝____________________________________________________________．

【剖析】由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣  ．

【解答】解：由等比数列的通项公式及其性质可得：a5＝﹣ ＝﹣ ＝

﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，是中档题．

6．（3 分）函数的反函数为 f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0] ．

【剖析】先用诱导公式求出 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，再由反函数的概念求解即可．

【解答】解：函数 f（x）＝sinx，x∈[π，]，

∴函数 f（x）＝sin（π﹣x），x∈[﹣，0]，可得π﹣x＝arcsiny y∈[﹣1，0]

∴f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

故答案为：f﹣1（x）＝π﹣arcsinx，x∈[﹣1，0]．

【点评】本题考查函数反函数的求法，是基础题．

7．（3 分）不等式组（a≠0）的解集为∅，则实数 a 的取值范围是______________________________________________________________________________________________________________

________________________________________．

【剖析】分 a＝0、a＞0、a＜0 三种状况，分别检验是不是满足条件，从而得出结论．

【解答】解：∵不等式组 （a≠0）的解集为∅，

①当 a＝0 时，因为 ax＞0 无解，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件．

②当 a＞0 时，由 ax＞0 求得 x＞0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，故不等式组

（a≠0）的解集为{x|x＞0}≠∅，故不满足条件．

③当 a＜0 时，由 ax＞0 求得 x＜0；由 x+a+1＞0，求得 x＞﹣a﹣1，

若﹣a﹣1≥0，即 a≤﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为∅，满足条件； 若﹣a﹣1＜0，即 0＞a＞﹣1 时，不等式组（a≠0）的解集为{x|﹣a﹣1＜x

＜0}≠∅，不满足条件，

综上可得实数 a 的取值范围是{a|a＝0，或 a≤﹣1}， 故答案为：{a|a＝0，或 a≤﹣1}．

【点评】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．

8．（3 分）设{an}是公比为 q 的等比数列，首项 a1＝，对于 n∈N*，bn＝an，当且仅当 n＝4 时，数列{bn}的前 n 项和获得最大值，则 q 的取值范围为________________________________________________________________________________．

【剖析】由 bn+1﹣bn＝ an+1﹣ an＝ ＝ q，得出数列{bn}是以q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，由已知当且仅当 n＝4 时前 n 项和最

大，通过解不等式组 求出公比 q 的取值范围即可．

【解答】解：由于等比数列的公比为 q，首项 a1＝，

∴bn+1﹣bn＝ an+1﹣ an＝ ＝ q，

∴数列{bn}是以 q 为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列，

∴bn＝6+（n﹣1） q．

又当且仅当 n＝4 时前 n 项和最大，

∴ ，

∴﹣2＜ q＜﹣ ，即 2＜q＜4，

故答案为：（2，4）．

【点评】本题考查了等差数列的断定，前 n 项和最值状况．本题得出数列{bn}是以 q

为公差，以 a1＝6 为首项的等差数列为重点．

9．（3 分）（理）对于任意，不等式 psin2x+cosplay4x≥2sin2x 恒成立，则实数 p 的范围为____________________________________________________________．

【剖析】先化简不等式，然后将 p 离别出来，再依据基本不等式求出不等式一侧的最大值，使 p 大于不等式一侧的最大值即可使不等式恒成立．

【解答】解：∵psin2x+cosplay4x≥2sin2x

∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x＝4sin2x﹣sin4x﹣1

∴p≥4﹣（sin2x+ ）

而 sin2x+ ≥2

∴4﹣（sin2x+ ）的最大值为 2 则 p≥2

故答案为：[2，+∞）

【点评】本题主要考查了正弦函数的概念域和值域，与函数恒成立问题和基本不等式的应用，是中档题．

10．（3 分）已知函数在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，b﹣

a 的最小值是____________________．

【剖析】借助辅助角公式进行化简得到 f（x）的表达式，计算出函数的周期结合图象得到一个周期内含有 2 个零点，依据图象打造 b﹣a 的最小值时对应的周期关系即可．

【解答】解： ＝ sin2x+1+cosplay2x＝2sin（2x+  ）+1，

则函数的最小周期 T＝＝π， 作出 f（x）的图象如图：

则在一个周期内函数 f（x）含有两个零点，

若 f（x）在区间[a，b]上至少含有 20 个零点时，

则至少需要 9 个整周期外加一个周期内的两个零点长度即可，

即 b﹣a 的最小值为 9π+（﹣ ）＝9π+ ＝ ， 故答案为： ．

【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，借助辅助角公式求出函数的 分析式结合图象判断一个周期内零点个数是解决本题的重点．

11．（3 分）已知函数 y＝f（x）存在反函数 y＝f﹣1（x），且 f（x）+f（﹣x）＝2017，则 f﹣1

（x）+f﹣1（2017﹣x）＝______________________________．

【剖析】由反函数性质得互为反函数的函数概念域值域互换，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017

﹣x）＝0．

【解答】解：由反函数性质得互为反函数的函数概念域值域互换，  因为 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）中 x+（2017﹣x）＝2017，

且 f（x）+f（﹣x）＝2017，所以 f﹣1（x）+f﹣1（2017﹣x）＝x+（﹣x）＝0． 故答案为 0．

【点评】本题考查反函数性质，是简单题．

12．（3 分）已知等差数列{an}的首项为 a，公差为 b；等比数列{bn}的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 均为正整数，且 a1＜b1＜a2＜b2＜a3，若存在关系式 am+1＝bn，则 b＝______________________________．

【剖析】由题设可求，an，bn，结合已知 a1＜b1＜a2＜b2＜a3．可得 a＜3，由 a 为正整数可求 a 由 am+1＝bn，a＝2 可求得 ，由 b＞a＝2 且 b 为正整数 可求出结

果．

【解答】解：由题设知，an＝a+（n﹣1）b， ， 由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b

∴b＜ab，a＞1，∴ab＜a+2b＜3b，

又∵b＞0∴a＜3，∵a 为正整数，∴a＝2，

∵am+1＝bn，∴a+（m﹣1）b+1＝b•an﹣1，

∵a＝2，∴3+（m﹣1）b＝b•2n﹣1，

∴ ，

∵b＞a＝2 且 b 为正整数，∴2n﹣1﹣（m﹣1）＝1，

∴b＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等差数列、等比数列的性质等入门知识，   考查运算求解能力，是中档题．

2、选择题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）

13．（3 分）设 0＜b＜1+a，若关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 的解集中的整数解恰有 3

个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6

【剖析】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，再

由 0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，考查解集端点的范围， 解出 a 的取值范围．

【解答】解：关于 x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b

＜1+a，

[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有 3 个，∴a＞1，

∴不等式的解集为 ＜x＜ ＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0  三个．

∴﹣3≤﹣ ＜﹣2，

∴2＜ ≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，

∵b＜1+a，

∴2a﹣2＜1+a，

∴a＜3，

综上，1＜a＜3， 故选：C．

【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．

14．（3 分）先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得的图象关于 y 轴的

对称图形，则最后函数图象的分析式为（ ）

A．                                       B．

C．                                       D．

【剖析】由条件借助函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得的图象对应的函数分析式，再依据所得的图象关于 y 轴的对称图形，求得所得函数图象对应的分析式．

【解答】解：先将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位长度，可得 y＝sin2（x﹣）

的图象；

再作所得的图象关于 y 轴的对称图形，可得函数 y＝sin2（﹣x﹣）＝sin（﹣2x﹣ ） 的图象，

故选：A．

【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，依据图象的对称性求函

数的分析式，是基础题．

15．（3 分）设 f（x）＝x3+log2（x+），则对任意实数 a，b，a+b≥0 是 f（a）+f（b）

≥0 的（ ）

A．充分必要条件 B．充分而非必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也非必要条件

【剖析】由 f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+ ）＝﹣x3+log2 ＝﹣x3﹣log2

（x+）＝﹣f（x），知 f（x）是奇函数．所以 f（x）在 R 上是增函数，a+b≥0 可得 af（a）+f（b）≥0 成立；若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知 a+b≥0 成立 a+b＞＝0 是 f（a）+f（b）＞＝0 的充要条件．

【解答】解：f（x）＝x3+log2（x+），f（x）的概念域为 R

∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+  ）＝﹣x3+log2

＝﹣x3﹣log2（x+）＝﹣f（x）．

∴f（x）是奇函数

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数

∴f（x）在 R 上是增函数

a+b≥0 可得 a≥﹣b

∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）

∴f（a）+f（b）≥0 成立

若 f（a）+f（b）≥0 则 f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b

∴a+b≥0 成立

∴a+b≥0 是 f（a）+f（b）≥0 的充要条件．

【点评】本题考查充要条件的判断，解题时应该注意单调性的合理运用．

16．（3 分）已知集合 M＝{0，2}，无穷数列{an}满足 an∈M，且，则实数 t 肯定不是（ ）

A．[0，1） B．（0，1] C．             D．

【剖析】用特殊值验证法断定

【解答】解：当 a1＝a2＝…＝an＝0 时，t＝0 当 a1＝2，a2＝a3＝..＝an＝0 时，t＝．

于是可以断定实数 t 肯定不是[） 故选：C．

【点评】本题考查了数列的取值范围问题，特殊值验证法是做客观题的一种有效方法， 是中档题．

3、解答卷

17．已知集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}，a≠b，全集为 U＝ R．

（1）若 a＞b＞﹣1，求 A∩B；

（2）若 ，求 a 的取值范围．

【剖析】（1）依据题意，剖析可得﹣a＜﹣b＜1，据此求出集合 A、B，由交集的概念剖析可得答案；

（2）依据题意，求出集合 A 的补集，进而可得若，则（a2﹣）（a2++a）

≤0，解可得 a 的取值范围，即可得答案．

【解答】解：（1）依据题意，若 a＞b＞﹣1，则﹣a＜﹣b＜1，

集合 A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}＝{x|x＜﹣a 或 x＞1}，集合 B＝{x|（x+a）（x+b）＞0}

＝{x|x＜﹣a 或 x＞﹣b}，

则 A∩B＝{x|x＜﹣a 或 x＞1}；

（2）依据题意，A＝{x|x2+（a﹣1）x﹣a＞0}，则∁uA＝{x|（x﹣1）（x+a）≤0}若 ，则（a2﹣ ）（a2+ +a）≤0，

则有 a2﹣≤0，解可得：﹣ ≤a≤ ， 故 a 的取值范围为{a|﹣≤a≤ }．

【点评】本题主要元素与集合关系的判断、交集及其运算，重点是学会集合交集、并集的概念，是基础题．

18. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．

（1） 若 a、b、c 成等比数列，且，求 cotA+cotC 的值；

（2） 若 A、B、C 成等差数列，且 b＝2，求△ABC 的周长 l 的最大值．

【剖析】（1）第一求出 sinB 的值，再依据正弦定理及 a、b、c 成等比数列得出 sin2B＝ sinAsinC，对 cotA+cotC 化简代入即可．

（2）由等差数列中项的性质，结合三角形的内角和定理求得 B，借助正弦定理表示出 a 与 c，进而表示出三角形 ABC 的周长，由三角函数的恒等变换，借助余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．

【解答】解：（1）∵cosplayB＝，

∴sinB＝ ＝ ＝ ，

∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac，

∴依据正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，

∴cotA+cotC

＝ + ＝ ＝

＝ ＝ ＝ ．

（2）∵b＝2，A、B、C 成等差数列，

可得 2B＝A+C＝180°﹣B，即 B＝60°，

sinB＝ ，

∴由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，

即 a＝sinA，c＝ sinC，

∵A+C＝120°，即 C＝120°﹣A，

∴△ABC 周长为 l＝a+b+c＝（sinA+sinC）+2

＝ [sinA+sin（120°﹣A）]+2＝ ×2sin60°cosplay（A﹣60°）+2

＝4cosplay（A﹣60°）+2，

∵0＜A＜120°，∴﹣60°＜A﹣60°＜60°，

∴ ＜cosplay（A﹣60°）≤1，即 4＜4cosplay（A﹣60°）+2≤6， 则当 A＝B＝C＝60°时，△ABC 周长获得最大值为 6．

【点评】本题考查了正弦定理，等差数列和等比数列中项的性质与三角函数的恒等变换，熟练学会正弦定理是解本题重点，是中档题．

19. 设函数 f（x）对任意的 x∈R，都有 f（2x）＝af（x），其中 a 为常数，当 x∈[1，2）时，

（1） 求函数 f（x）在 x∈[2n，2n+1）上的分析式；

（2）若﹣1≤a＜0，求 f（x）在 x∈[1，+∞）时的值域．

【剖析】（1）依据函数递推关系进行求解即可

（2）依据函数递推关系将[1，+∞）＝[1，2）∪[2，22）∪[22，23））∪…∪[2n，2n+1）

∪…，分别进行讨论求解即可．

【解答】解：（1）当 x∈[2n，2n+1）时， ∈[1，2），∴f（ ）＝sin（• ），

∴f（x）＝af（）＝a2f（）＝a3f（ ）＝…＝anf（ ）＝ansin（ • ）．

（2）因为[1，+∞）＝[1，2）∪[2，22）∪[22，23））∪…∪[2n，2n+1）∪…故只研究函数 f（x）在[2n，2n+1）的值域即可，

当 x∈[2n，2n+1），则 ∈[1，2），

于是 f（x）＝af（ ）＝a2f（）＝a3f（ ）＝…＝anf（ ）＝ansin（ • ）＝

ansin（ ）．x∈[2n，2n+1），

则 ≤ ＜π，⇒0＜sin（ ）≤1，

∵﹣1≤a＜0，∴当 n 是偶数时，f（x）在[2n，2n+1）上单调递减，值域为（0，an]， 且（0，1]⊇（0，a2]⊇（0，a4]⊇…⊇（0，a2k]⊇…，

当 n 是奇数时，f（x）在[2n，2n+1）上单调递增，值域为[an，0），且[a，0）⊇[a3，0）⊇[a5，0）⊇…⊇[a2k﹣1，0）⊇…，

综上函数的值域为[a，0）∪（0，1]

【点评】本题主要考查函数值域的求解，结合函数的递推公式是解决本题的重点．综合性较强，有肯定的困难程度．

20．（1）已知 0＜x1＜x2，求证： ；

（2） 已知 f（x）＝lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在概念域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合 M＝{n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．

【剖析】（1）用剖析法证明；

（2） 设 0＜x1＜x2，借助（1）的结论和对数函数的性质化简 f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；

（3） 由（2）的结论及 f（9）＝0 列出不等式组，解出 n 即可得出 M 中元素的个数．

【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0， 欲证： ，

仅需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，

仅需证：x2＞x1， 显然 x2＞x1 成立，

∴ ．

（2）解：f（x）的概念域为（0，+∞）．

设 0＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣ log3x1

＝lg + log3 ＝lg ﹣log9 ．

∵0＜x1＜x2，

∴0＜ ＜ ＜1，∴lg ＞log9 ＞log9 ，

∴f（x1）﹣f（x2）＝lg ﹣log9 ＞log9 ﹣log9 ＝0．

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在概念域（0，+∞）上是减函数．

（3）解：由（2）知 f（x）是概念在（0，+∞）上的减函数，且 f（9）＝0，

∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，

∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．

∴13447＜（n﹣107）2≤13456．

∵115＜ ＜116， ＝116，n∈Z，

∴n﹣107＝116 或 n﹣107＝﹣116．

∴集合 M 有两个元素．

∴集合 M 有 4 个子集．

【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，是中档题．

21. 已知点是函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象上的一点，等比数列{an}的前n 项和为 f （ n ） ﹣ c ， 数列{bn} （ bn ＞ 0 ） 的首项为 c ， 且前 n 项和 Sn 满足：

（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2） 若数列{cn}的通项 ，求数列{cn}的前 n 项和 Rn；

（3） 若数列 的前项和为 Tn，是不是存在最大的整数 t，使得对任意的正整数 n， 均有 总成立？若成立，求出 t；若没有，请说明理由．

【剖析】（1）由题意可得 a＝，由等比数列的求和公式特征可得 c＝1，进而得到所求等比数列的通项公式；由平方差公式和等差数列的概念和通项公式，可得所求通项公式；

（2） 求得 ＝（2n﹣1）•（ ）n，运用错位相减法求和，化简计算可得所求和；

（3）  ） ＝ ＝ （ ﹣ ）， 由裂项相消求和可得数列的前项和为 Tn，再由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得 t 的最大值．

【解答】解：（1）由题意可得 a＝，等比数列{an}的前 n 项和为 f（n）﹣c＝﹣c，由等比数列的求和公式可得 c＝1，即 a1＝﹣，公比 q＝，

则 an＝﹣2•；

数列{bn}（bn＞0）的首项为 1，且前 n 项和 Sn 满足： ，

可得 ﹣ ＝1，即有 ＝ +n﹣1＝1+n﹣1＝n， 即 Sn＝n2，bn＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；

（2）通项 ＝（2n﹣1）•（ ）n，

前 n 项和 Rn＝1•+3•（ ）2+…+（2n﹣1）•（ ）n，

Rn＝1•（ ）2+3•（ ）3+…+（2n﹣1）•（ ）n+1，

相减可得 Rn＝ +2[（ ）2+…+（ ）n]﹣（2n﹣1）•（ ）n+1

＝ +2• ﹣（2n﹣1）•（ ）n+1， 化简可得 Rn＝ ﹣ ；

（3） ＝ ＝（﹣），

数列 的前项和为 Tn＝ （1﹣+ ﹣ +…+ ﹣ ）

＝  （1﹣ ），

由 Tn＝（1﹣ ）在 n 为自然数集递增，可得最小值为 T1＝，

＜ ，可得 t＜12，

则存在最大的整数 t＝11，使得对任意的正整数 n，均有总成立．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法和裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，是中档题．